Question

已知二次函数y=ax²+bx+c．
①若b=2a+

1

2

c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．
③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将b=2a+

1

2

c整理为4a-2b+c=0即可判断其经过的点的坐标；
（2）根据题目提供的条件求得其顶点的纵坐标，进一步整理即可得到答案；
（3）将（0，y₁）和（1，y₂）分别代入函数的解析式，利用y₁•y₂＞0、2a+3b+6c=0，即可确定纵坐标的取值范围．

解答：（1）解：由b=2a+

1

2

c，可得4a-2b+c=0，
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴函数图象一定经过点（-2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax²+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．
∴顶点纵坐标

-b2

4a

≤1，
∴-b²≥4a，
∴4a+b²≤0；

（3）解：由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由题意，y₁•y₂=c•（a+b+c）＞0，
即6c•（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）•（4a+3b）＞0，（2a+3b）•（4a+3b）＜0，
两边同除以9a²，
∵9a²＞0，
∴(

b

a

+

2

3

)•(

b

a

+

4

3

)＜0，
∴

b a + 2 3 ＜0 b a + 4 3 ＞0

或

b a + 2 3 ＞0 b a + 4 3 ＜0

∴-

4

3

＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

1

3

＜-

b

2a

＜

2

3

，即为所求．

点评：本题考查了二次函数的性质及抛物线与x轴的交点，另外还考查了二次函数图象上的点的特征，是一道比较复杂的二次函数综合题．