Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是________．

Answer 1

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分析：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．根据切线长定理和勾股定理求解．
解答：解：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．
设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC=6．
又PC=8-2=6，则BC=PC，
所以∠BPC=45°，
∴PD=OD=x，AD=x+2，
根据切线长定理得AE=x+2，BE=10-（2+x）=8-x，OB=BP-OP=6-x；
在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：
（6-x）²=x²+（8-x）²，
∴x=1，即⊙O的半径是1．
点评：此题综合运用了勾股定理、切线长定理．要能够发现一个等腰直角三角形，最后在直角三角形BOE中根据勾股定理列方程求解．