Question

已知抛物线（b≠0）与x轴正半轴交于A（c，0），与y轴交于B点，直线AB的解析式为y₂=mx+n．
（1）求m-n+b的值；
（2）若抛物线顶点P关于y轴的对称点恰好在直线AB上，M是线段BA上的点，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N．试问：当点M从点B运动到点A时，线段MN的长度如何变化？

Answer 1

解：（1）把A（c，0）代入抛物线得：-c²+bc+c=0，
如图，∵A（c，0）在x轴正半轴，
∴c＞0，
∴b=c-1，
∵抛物线与y轴交于B点．
∴B（0，c）
把A（c，0）、B（0，c）分别代入y₂=mx+n得：，
解得：
∴m-n+b=-1-c+c-1=-2；

（2）∴，y₂=-x+c
∴顶点P（，）
∴顶点P关于y轴对称的点P′（，）
把P′代入y₂=-x+c得：

解得：c₁=3，c₂=1（舍去）
∴当c=3时，b=c-1=2；
当c=1时，b=0；
∵b≠0
∴c=3，b=2，
∴，y₂=-x+3
∵M是线段AB上的点，
∴y₂≤y₁，0≤x≤3．
∵MN∥y轴
∴MN=
∴MN=
∵a=-1＜0，开口向下，对称轴为
∴当时，MN长度随着x增大而增大；
当时，MN长度随着x增大而减小．
分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式得到b=c-1；把点A、B的坐标分别代入直线AB的解析式求得m=-1，n=c，将其代入所求的代数式并求值即可；
（2）由（1）中的抛物线解析式可以求得顶点P（，），则易求顶点P关于y轴对称的点P′（，）．由一次函数y₂=-x+c图象上点的坐标特征可以
求得c=3．易求得，y₂=-x+3．则MN=，所以由二次函数图象的性质进行解答即可．
点评：本题综合考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式以及二次函数图象的性质．综合性强，要求学生掌握数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是解题的关键．