如图①.在?ABCD中.对角线AC⊥AB.BC=10.tan∠B=2．点E是BC边上的动点.过点E作EF⊥BC于点E.交折线AB-AD于点F.以EF为边在其右侧作正方形EFGH.使EH边落在射线BC上．点E从点B出发.以每秒1个单位的速度在BC边上运动.当点E与点C重合时.点E停止运动.设点E的运动时间为t秒．(1)?ABCD的面积为40,当t=2秒时.点F与点A重合,(2)点E在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图①，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥BC于点E，交折线AB-AD于点F，以EF为边在其右侧作正方形EFGH，使EH边落在射线BC上．点E从点B出发，以每秒1个单位的速度在BC边上运动，当点E与点C重合时，点E停止运动，设点E的运动时间为t（t＞0）秒．

（1）?ABCD的面积为40；当t=2秒时，点F与点A重合；
（2）点E在运动过程中，连接正方形EFGH的对角线EG，得△EHG，设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围；
（3）作点B关于点A的对称点Bˊ，连接CBˊ交AD边于点M（如图②），当点F在AD边上时，EF与对角线AC交于点N，连接MN得△MNC．是否存在时间t，使△MNC为等腰三角形？若存在，请求出使△MNC为等腰三角形的时间t；若不存在，请说明理由．

分析（1）解Rt△ABC，求出AB，AC，即可求得□ABCD的面积；解Rt△ABC，可求得t的值．
（2）分0＜t≤$\frac{10}{7}$，$\frac{10}{7}$＜t≤2，2＜t≤6，6＜t≤10讨论，根据重合部分图形特点，用t表示出各线段的长度，进而求出重合部分的面积表达式．
（3）分CM=CN，MC=MN，NM=NC三种情况讨论，运用相似或勾股定理列方程即可求解．

解答解：（1）设AB=a，
∵AC⊥AB，tan∠B=2，
∴AC=2a，
∵BC=10，
∴a²+（2a）²=10²，得a=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴□ABCD的面积为2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$，
当点F与点A重合时，BF=2$\sqrt{5}$，tan∠B=2，
∴$\frac{EF}{BE}=2$
∴EF=2BE
∴BE²=BF²-EF²=BF²-（2BE）2=（2$\sqrt{5}$）²-4BE²
解得：BE=2，
∴t=2，
故答案为：40；2．
（2）当0＜t≤$\frac{10}{7}$，时，△EHG与△ABC的重叠部分为△EHG，
如图1，BE=t，EF=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×2t=2t²；
当$\frac{10}{7}$＜t≤2时，△EHG与△ABC的重叠部分为四边形EHJI，如图2，
S=S_△EIC-S_△JHC
=$\frac{1}{2}$×（10-t）×$\frac{10-t}{3}$-$\frac{1}{2}$×（10-3t）×$\frac{10-3t}{2}$
=-$\frac{25}{12}{t}^{2}+\frac{35}{3}t-\frac{25}{3}$；
当2＜t≤6时，△EHG与△ABC的重叠部分为四边形EHJI，如图3，
S=S_△EIC-S_△JHC
=$\frac{1}{2}$×（10-t）×$\frac{10-t}{3}$-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{6-t}{2}$
=-$\frac{49}{12}{t}^{2}+\frac{35}{3}t-\frac{1}{3}$；
当6＜t≤10时，△EHG与△ABC的重叠部分为△EHJI，如图4，
S=$\frac{1}{2}$×（10-t）×$\frac{10-t}{3}$
=$\frac{1}{6}{t}^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{50}{3}$．
综上所述，S与t的函数关系式为：$S=\left\{\begin{array}{l}2{t^2}（0＜t≤\frac{10}{7}）\\-\frac{25}{12}{t^2}+\frac{35}{3}t-\frac{25}{3}（\frac{10}{7}＜t≤2）\\-\frac{49}{12}{t^2}+\frac{35}{3}t-\frac{1}{3}（2＜t≤6）\\ \frac{1}{6}{t^2}-\frac{10}{3}t+\frac{50}{3}（6＜t≤10）\end{array}\right.$；
（3）存在．
如图5，过点A，M作BC的垂线，垂足分别为I，J．
∵点B关于点A的对称点Bˊ，
∴AM是△BˊBC的中位线．
∴AM=5．
∵BI=2，AI=MJ=4，BE=t，
∴JC=3，MC=5，EC=10-t，IC=8．
由△CNE∽CAI，得$\frac{NE}{AI}=\frac{EC}{IC}$，即$\frac{NE}{4}=\frac{10-t}{8}$，NE=$\frac{1}{2}$（10-t），
∴NC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（10-t），
∴FM=7-t，FN=4-$\frac{1}{2}$（10-t）=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴NM=$\sqrt{（7-t）^{2}+[\frac{1}{2}（t-2）]^{2}}$．
当CM=CN时，$\frac{\sqrt{5}}{2}$（10-t）=5，t=10-2$\sqrt{5}$，
当MC=MN时，$\sqrt{（7-t）^{2}+[\frac{1}{2}（t-2）]^{2}}$=5，t=2，
当NM=NC时，$\sqrt{（7-t）^{2}+[\frac{1}{2}（t-2）]^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（10-t），t=$\frac{15}{2}$；
综上所述，当t=10-2$\sqrt{5}$或2或$\frac{15}{2}$时，△MNC为等腰三角形．

点评本题考查了点和面动问题，平行四边形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，由实际问题列函数关系式，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，分类思想的应用；综合性较强，有一定难度；特别是第三问灵活运用相似三角形的性质，分类情况较多，考虑要全面．

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