Question

如图，在△ABC中，BC=9，CA=12，AB=15，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E．

　　(1)求证：△ABC是直角三角形；

　　

　　(2)设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；

　　

(3)设⊙O交BC于点F，连结EF，求AE的长和EF∶AC的值．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵BC2+CA2=92+122=225，而AB2=152=225， 　　∴BC2+CA2=AB2. 　　∴△ABC是直角三角形． 　　(2)证明：连结OD． ∵∠BDE=90°． 　　∴BE是⊙O的直径． 　　∴∠1=∠3. ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠2. 　　∴OD∥BC． ∵BCAC， 　　∴ODAC． ∴AC是⊙O的切线． 　　(3)解：∵Rt△ABC∽Rt△AOD． 　　∴，即． 　　∴OD=．∴AE=AB-2OD=15-2=． 　　∵∠BFE=90°， ∴EF∥AC． 　　∴．