Question

已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a的最小值．

Answer 1

分析：由整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数，可设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数），又由（a+b）²-4ab=（a-b）²，可得（2a-m）²-4n²=m²，然后利用平方差公式分解，即可得2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，继而求得a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

，又由a≥2012，即可求得a的最小值．

解答：解：设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数）．
∵（a+b）²-4ab=（a-b）²，
∴（2a-m）²-4n²=m²，
即：（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²．
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n＞2a-m-2n （m为素数），
∴2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，
解得：a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

，
∴b=a-m=

(m-1)2

4

，
∵a≥2012，
∴

(m+1)2

4

≥2012，
∵m是素数，
解得：m≥89，
此时，a≥

(89+1)2

4

=2025，
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值为2025．

点评：此题考查了素数与完全平方数的知识．此题难度较大，解题的关键是设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数），根据题意得到（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²，继而求得a=

(m+1)2

4

，n=

m2-1

4

．