Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，

（1）求证：△CDE是等腰三角形；

（2）若AB=4，，求证：△OBC≌△DCE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE实等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=4，易求AC=AO=2，利用勾股定理可求BC=2，CE=AE-AC=2，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．

试题解析：证明：（1）∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

又∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

又∵OA=OC，

∴△AOC是正三角形，

又∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°，

又∵ED⊥AB于F，

∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°，

∴∠DCE=∠DEC，

故△CDE为等腰三角形；

（2）在Rt△ABC中，

∵AB=4，AC=AO=2，

∴，

而，

∴BC=CE，

又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，

∴△OBC≌△DCE（ASA）．