Question

已知，在△ABC中，作AD⊥BC于D，且AD=BD，作BE⊥AC于E，AD和BE所在的直线交于H点．
（1）如图，当∠ABC为锐角时，请找出图中与BH相等的线段，并说明理由；
（2）当∠ABC为钝角时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形并说明理由．

Answer 1

解：（1）AC=BH．理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE=∠CAD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH，
∴AC=BH；

（2）（1）中的结论成立，即仍然有AC=BH．理由如下：
如图，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBE=∠CAD，
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AC=BH．
分析：（1）AC=BH．由∠ADC=∠BEC=90°，根据等角的余角相等得到∠CBE=∠CAD，然后根据“ASA”得到△ADC≌△BDH，利用全等三角形的性质即可得到AC=BH；
（2）先作出图形，仍然有AC=BH．证明的方法和（1）一样．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．