Question

如图，直角坐标系中，点A（2，2）在反比例函数y=

k1

x

（x＞0）的图象上．过点A作x轴的平行线，与y轴交于点B，与反比例函数y=

k2

x

（x＜0）的图象交于点C，且

AB

BC

=

4

3

．
（1）k₂的值为

 

；
（2）点P（0，a）是y轴上一点，连结PA．将线段PA绕点P按逆时针方向旋转90°，所得的像为PA′．若PA′与反比例函数y=

k1

x

（x＞0）或y=

k2

x

（x＜0）的图象有公共点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：分类讨论

分析：（1）由条件易求出点C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题．
（2）根据点A′相对于y轴的不同位置进行讨论，通过三角形全等求出点A′的坐标，然后考虑点A′刚好落到反比例函数图象上时对应的a的值，就可求出a的取值范围．

解答：解：（1）如图1，
∵点A（2，2），∴AB=2．
∵

AB

BC

=

4

3

，∴BC=

3

2

．
∴点C的坐标为（-

3

2

，2）．
∵点C（-

3

2

，2）在反比例函数y=

k2

x

（x＜0）图象上，
∴k₂=-

3

2

×2=-3．
故答案为：-3．

（2）①当点A′在y轴的右侧时，
此时a＞2．
过点A′作A′E⊥OB于E，如图2．
∵AB⊥OB，A′E⊥OB，∠APA′=90°，
∴∠ABP=∠A′EP=∠APA′=90°．
∴∠APB=90°-∠A′PE=∠EA′P．
在△ABP和△PEA′中，

∠APB=∠EA′P′ ∠ABP=∠PEA′ AP=PA′

．
∴△ABP≌△PEA′．
∴AB=PE，BP=EA′．
∵A（2，2），P（0，a），
∴PE=AB=2，EA′=BP=a-2．
∴OE=OP+PE=a+2．
∴点A′的坐标为（a-2，a+2）．
当A′（a-2，a+2）在反比例函数y=

k1

x

（x＞0）的图象上时，如图2．
∵A（2，2）在反比例函数y=

k1

x

（x＞0）的图象上，
∴k₁=2×2=4．
∴（a-2）（a+2）=4．
解得：a=±2

2

．
∵a＞2，∴a=2

2

．
②当点A′在y轴上时，
此时a=2，点A′与两函数的图象没有交点，故舍去．
③当点A′在y轴的左侧时，
此时a＜2．
Ⅰ．0≤a＜2，
当A′（a-2，a+2）在反比例函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上时，
过点A′作A′E⊥OB于E，如图3．
同理可得：A′的坐标为（a-2，a+2）．
∵A′（a-2，a+2）在反比例函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上，
∴（a-2）（a+2）=-3．
解得：a=±1．
∵0≤a＜2，∴a=1．
Ⅱ．a＜0，
当A′（a-2，a+2）在反比例函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上时，
过点A′作A′E⊥OB于E，如图4．
同理可得：A′的坐标为（a-2，a+2）．
∵A′（a-2，a+2）在反比例函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上，
∴（a-2）（a+2）=-3．
解得：a=±1．
∵a＜0，∴a=-1．
综上所述：符合要求的a的取值范围是a≥2

2

或-1≤a≤1．
故答案为：a≥2

2

或-1≤a≤1．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质等知识，考查了分类讨论的数学思想，而合理分类及考虑临界位置是解决本题的关键．