Question

已知关于x的方程x²-2（m-1）x+m²-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=，c-b=4，若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方，求m的值．

Answer 1

解：（1）△=4（m-1）²-4（m²-3）=-8m+16，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即-8m+16＞0，
解得m＜2，
∴实数m的取值范围是m＜2；

（2）在△ABC中，∠C=90°，tanB=，
∴，
设b=3k，a=4k，
则=5k，
又∵c-b=4，
∴5k-3k=2k=4，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x₁，x₂，
由根与系数的关系得x₁+x₂=2（m-1），
x₁x₂=m²-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²-3）
=2m²-8m+10，
由已知有：x₁²+x₂²=10²，
∴2m²-8m+10=10²=100，
解这个方程得m₁=-5，m₂=9，
又∵方程有两个不相等实数根，
必须满足m＜2，
∴m=-5．
分析：（1）由于一元二次方程有两个不相等的实数根，则△＜0，从而得到关于m的不等式，然后就可以得出m的取值范围；
（2）由于tanB=，c-b=4，利用勾股定理可求出c的值，然后根据根与系数的关系得出两个实数根的平方和，根据题意得到关于m的方程，从而可以求出m的值并验根．
点评：此题着重考查了根的判别式，根与系数的关系．在利用根与系数的关系解题时，要特别注意一定要利用根的判别式进行检验．