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    折叠问题：
    （1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
    ①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；
    ②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

    （2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．
    分析：（1）①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积；
    ②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长；
    （2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．
    解答：（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，
    在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
    所以，EH=
    		102-82
    =6，AE=10-6=4，
    设AF=x，则EF=BF=8-x，
    则AF2+AE2=EF2，
    ∴x2+42=（8-x）2，
    解得：x=3，
    ∴AF=3，BF=EF=5，
    故△EFG的面积为：
    1
    2
    ×5×10=25    ；

    ②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
    ∵ABCD是矩形，
    ∴AD∥BC，BH∥EG，
    ∴四边形BGEF是平行四边形；
    由对称性知，BG=EG，
    ∴四边形BGEF是菱形．
    解：∵四边形BGEF是菱形，
    ∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
    ∴KG=4，FG=
    		82+42
    =
    		80
    =4
    		5
    ；

    （2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
    如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
    A′D=AD=13，
    在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
    即132=（13-A′B）2+52，
    解得：A′B=1，
    所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．
    点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及菱形的判定和勾股定理以及三角形面积求法等知识，注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键．
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    （1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在△ABC内部时，我们不仅可以发现AE=A′E，AD=
     
    ，而且我们还可以通过发现∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠
     
    ，∠A=∠A′，从而求得∠1+∠2=2∠A．
    （2）如图②，当点A落在△ABC外部时，我们发现∠2=∠DFA+∠
     
    ，∠DFA=∠1+∠
     
    ，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在这里还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出成立的式子并说明理由．
    （3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，请你模仿图①，图②，画出相应的示意图并求出△CDE的周长．精英家教网

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    同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：
    在一张长方形ABCD纸片中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．
    （1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为
     
    ；
    （2）如图2，H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；
    （3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．
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    ②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

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