Question

11．把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm²，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

分析 （1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40-2x）²=484，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，则y与x的函数关系为：y=4（40-2a）a，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm²，得出等式方程求出即可．

解答 解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（40-2x）²=484，
即40-2x=±22，
解得x₁=31（不合题意，舍去），x₂=9．
答：剪掉的正方形的边长为9cm；

②侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a=-8（a-10）²+800，
∵-8＜0，
∴y有最大值，
即当a=10时，y_最大=800，
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm²；

（2）设剪掉的长方形盒子的高为xcm，则长为（40-2x）cm，宽为（20-x）cm，
表面积为：2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x₁=-35（不合题意，舍去），x₂=15，
即剪掉的长方形盒子的高为15cm，
则长为：40-2x=40-2×15=10（cm），
宽为：20-x=20-15=5（cm），
此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm．

点评 本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．