Question

已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．

Answer 1

解：如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；
由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（12+9-15）=3．
当AC=b，BC=a，AB=c，
由以上可得：
CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（a+b-c）．
则⊙O的半径r为：（a+b-c）．
分析：首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
点评：此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．