Question

如图已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x=1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中：
①ac＜0；②2a+b=0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax²+bx+c-m=0有两个不相等的实数根．
正确的结论有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-=1可对②进行判断；由顶点P的坐标为（1，4）得到a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，然后把2a=-b代入得到b=8-2c，则可对③进行判断；根据二次函数的最大值为4，即ax²+bx+c≤4，则当m＜4时，有两个自变量的值满足ax²+bx+c=m，
于是可对⑤进行判断．
解答：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线的顶点P的坐标为（1，4），
∴a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，
而2a=-b，
∴b=8-2c，
∵c＞0，
∴b＜8，所以③正确；
∵二次函数的最大值为4，即ax²+bx+c≤4，
∴当m＜4时，有两个自变量的值满足ax²+bx+c=m，
即方程ax²+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，所以⑤正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．