Question

对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的材料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；③每月需各种开支2000元．
（1）为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为多少？
（2）当商品的价格每件多少元时，月利润和除职工最低生活费的余额最大并求出最大值．
（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

Answer 1

分析：（1）如果使该店刚好能够维持职工生活，那么该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元以及每月所需的各种开支2000元，据此列出方程，从而确定商品的价格；
（2）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，列出L与售价P的函数关系式，根据函数性质求出L取最大值时，自变量P的值，从而确定商品的价格；
（3）企业乙脱贫即还清5.8万元的转让价格和5万元的无息贷款，要求最早脱贫时间，由上问P的值，根据题意设可在n年后脱贫，则此n年经营的利润≥50000+58000，求出n的最小值，得出结果．

解答：解：（1）根据图象，当14≤P≤20时，
设Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得

14k+b=22 20k+b=10

，
解得

k=-2 b=50

，
则Q=-2P+50；
当20≤P≤26时，
设Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得

20m+n=10 26m+n=1

，
解得

m=-1.5 n=40

，
则Q=-1.5P+40，
即Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
若商品的价格应定为P元时，该店刚好能够维持职工生活，
则有100（P-14）Q=3600+2000，分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合题意，舍去）；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=

56

3

（不合题意，舍去）．
答：为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为18元或22元．

（2）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L=100（P-14）Q-2000．分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
则当P=

-7800

2×(-200)

=19.5时，L有最大值，
此时L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-2000=4050；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
则当P=

-6100

2×(-150)

=

61

3

时，L有最大值，
此时L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

3

-2000=2016

2

3

．
因为4050＞2016

2

3

，
所以当P=19.5元时，月利润最大，为4050元．

（3）设可在n年后脱贫，由题意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脱贫．

点评：本题是一道综合题，难度较大．重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，能够从图象上准确地获取信息，本题中Q与P的关系是分段的，要注意对应，这是做本题的关键．