Question

1．△ABC中，∠ACB=90°，点E为AC的中点，CD⊥BE交AB于D点，交BE于点F．（2）如图2，若AC=BC，延长AF交BC于G，求$\frac{CG}{AC}$；

（1）如图1，若AC=2BC，求证：AD=2BD；
（2）如图2，若AC=BC，延长AF交BC于G，求$\frac{CG}{AC}$；
（3）若图2中，∠ACD=30°，连AF并延长交BC于G点，则$\frac{BG}{GC}$的值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用中点得出EC=BC，再根据等腰直角三角形的性质得出BF=EF，即可得出BG=DG，再利用三角形的中位线得出AG=DG，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理得出BE，再利用三角形的面积公式即可得出CF，然后利用相似三角形的性质得出EF，同理即可得出PE，PE，进而得出AP，最后利用相似三角形的性质即可得出CG，结论得证；
（3）先在Rt△PEF中，用含30°角的直角三角形的性质得出PF，EF，同样的方法在Rt△CEF中，得出CF，CP，进而得出BC，另为利用中点，线段的和差得出AC，AP，最后利用相似三角形的性质得出CG，结论得证．

解答 解：（1）如图1，∵点E为AC的中点，
∴EC=BC，
∵∠CEB=∠CBE=45°，
∵CD⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF=45°，
∴EF=CF=BF，
作EG∥CD，交AC于G，
∵BF=EF，
∴BD=GD；
∵AE=EC，
∴AG=GD，
∴AG=GD=BD
∴AD=AG+GD=2BD．

（2）如图2，过点F作FP⊥AC于P，
设AE=CE=x，
∴BC=AC=2x，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE=$\sqrt{5}$x，
根据△BCE的面积得，$\frac{1}{2}$BC•CE=$\frac{1}{2}$BE•CF，
∴2x•x=$\sqrt{5}$x•CF，
∴CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$，
∵BE⊥CD，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∵∠CEF+∠CBE=90°，
∴∠ECF=∠CBE，
∵∠CFE=∠BCE，
∴△CFE∽△BCE，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{EF}{x}=\frac{x}{\sqrt{5}x}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△CEF中，FP⊥CE，同理可得，PF=$\frac{2}{5}$x，PE=$\frac{1}{5}$x，
∴AP=AE+PE=x+$\frac{1}{5}$x=$\frac{6}{5}$x，
∵FP∥BC，
∴△APF∽△ACG，
∴$\frac{PF}{CG}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{\frac{2}{5}x}{CG}=\frac{\frac{6}{5}x}{2x}$，
∴CG=$\frac{2}{3}$x，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{\frac{2}{3}x}{2x}$=$\frac{1}{3}$；
（3）如图2，过点F作FP⊥AC，
∵∠ACD=30°，
∴∠CEF=90°-30°=60°，
在Rt△PEF中，∠EFP=90°-60°=30°，
设PE=a，
在Rt△PEF中，EF=2PE=2a，PF=$\sqrt{3}$PE=$\sqrt{3}$a，
在Rt△CPF中，CF=2PF=2$\sqrt{3}$a，CP=$\sqrt{3}$PF=3a，
∴CE=CP+PE=4a，
∴AC=2CE=8a，
∴AP=AC-CP=5a，
∵FP∥BC，
∴△APF∽△AGC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PF}{CG}$，
∴$\frac{5a}{8a}=\frac{\sqrt{3}a}{CG}$，
∴CG=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$a，
在Rt△BFC中，∠BCF=90°-∠ACD=60°，
∴∠CBF=30°，
∵CF=2$\sqrt{3}$a，
∴BC=2CF=4$\sqrt{3}$a，
∴BG=BC-CG=4$\sqrt{3}$a-$\frac{8\sqrt{3}}{5}$a=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$a，
∴$\frac{BG}{GC}=\frac{\frac{12\sqrt{3}}{5}a}{\frac{8\sqrt{3}}{5}a}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解（1）关键是判断出BF=EF，解（2）的关键是作出辅助线，利用勾股定理表示出相关线段（CF、EF、PF、PE、AP），解（3）的关键是利用含30度的直角三角形表示相关线段（EF、PF、CF、CE、CP、CE、AC、BC）．