Question

已知二次函数y=ax²+bx+a，且当x₁=0，x₂=2a时，相对应的y₁=y₂，若此函数图象与x轴没有交点，则a的取值范围是________．

Answer 1

-1＜a＜1且a≠0
分析：首先利用当x₁=0，x₂=2a时，相对应的y₁=y₂得到有关a、b的关系式，并用a表示b，利用其图象与横轴没有交点可得到有关a的不等式，进而求得a的取值范围．
解答：∵当x₁=0，x₂=2a时，相对应的y₁=y₂，
∴a=4a³+2ab+a
整理得：4a³+2ab=0，
即：a（4a²+2b）=0，
∵a≠0，
∴4a²+2b=0，
解得：b=-2a²，
∵此函数图象与x轴没有交点，
∴△=b²-4a×a=b²-4a²=4a⁴-4a²＜0，
解得：-1＜a＜1，
故答案为：-1＜a＜1且a≠0
点评：本题考查了抛物线与横轴的交点问题，解题的关键是得到a、b之间的关系，从而代入到根的判别式中求得a的取值范围．