Question

数学课上，老师出示了如下框中的题目，

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1 ）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE(    )DB （填“＞”，“＜”或“=”）．
（2 ）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE(    )DB （填“＞”，“＜“=”），理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F。（请你完成以下解答过程）
（3 ）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E 在直线AB上，点D 在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长。（请你直接写出结果）

Answer 1

解：（1）答案为：=； （2）答案为：=， 证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， AB=BC=AC， ∵EF?BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°， ∴AE=AF=EF， ∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE， 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB=EF， ∴AE=BD； （3）解：分为四种情况：如图： ∵AB=AC=1，AE=2， ∴B是AE的中点，△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半）， ∴∠ACE=90°，∠AEC=30°， ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°， 即△DEB是直角三角形， ∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半）， 即CD=1+2=3．如图2， 过A作AN?BC于N，过E作EM?CD于M， ∵等边三角形ABC，EC=ED， ∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN?EM， ∴△BAN?△BEM， ∴=， ∵△ABC边长是1，AE=2， ∴=， ∴MN=1， ∴CM=MN﹣CN=1﹣=， ∴CD=2CM=1；如图3， ∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°）， 而∠EDC不能等于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理， ∴此时不存在EC=ED；如图4 ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC， ∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．