Question

20．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

t（秒）	0	0.16	0.2	0.4	0.6	0.64	0.8	6
X（米）	0	0.4	0.5	1	1.5	1.6	2	…
y（米）	0.25	0.378	0.4	0.45	0.4	0.378	0.25	…

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x-3）²+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到A，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；
（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，只要利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由题意可得，扣杀路线在直线y=$\frac{1}{10}$x上，由①得，y=a（x-3）²-$\frac{1}{4}$a，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．

解答 解：（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；

（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y=a（x-1）²+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=-$\frac{1}{5}$，
则y=-$\frac{1}{5}$（x-1）²+0.45，
当y=0时，0=-$\frac{1}{5}$（x-1）²+0.45，
解得：x₁=$\frac{5}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是$\frac{5}{2}$m；

（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（$\frac{5}{2}$，0），
代入y=a（x-3）²+k，得（$\frac{5}{2}$-3）²a+k=0，
化简得：k=-$\frac{1}{4}$a；

②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y=$\frac{1}{10}$x上，由①得，y=a（x-3）²-$\frac{1}{4}$a，
令a（x-3）²-$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{10}$x，
整理得：20ax²-（120a+2）x+175a=0，
当△=（120a+2）²-4×20a×175a=0时符合题意，
解方程得：a₁=$\frac{-6+\sqrt{35}}{10}$，a₂=$\frac{-6-\sqrt{35}}{10}$，
当a₁=$\frac{-6+\sqrt{35}}{10}$时，求得x=-$\frac{\sqrt{35}}{2}$，不符合题意，舍去；
当a₂=$\frac{-6-\sqrt{35}}{10}$时，求得x=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，符合题意．

点评 此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．