Question

如果方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形两个锐角的正弦，那么m的值是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、3
• D、2

Answer 1

考点：根与系数的关系,互余两角三角函数的关系

专题：计算题

分析：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），根据根与系数的关系得sinA+sinB=

m+1

2

，sinA•sinB=

m

4

，利用互余两角三角函数的关系得到
sin²A+sin²B=1，变形得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（

m+1

2

）²-2×

m

4

=1，解得m₁=

3

，m₂=-

3

，然后根据sinA与sinB都是正数确定m的取值

解答：解：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），
根据题意得sinA+sinB=

m+1

2

，sinA•sinB=

m

4

，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（

m+1

2

）²-2×

m

4

=1，解得m₁=

3

，m₂=-

3

，
∵sinA+sinB=

m+1

2

＞0，sinA•sinB=

m

4

＞0，
∴m=

3

．
故选B．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了互余两角三角函数的关系．