Question

如图一，△ABD，△AEC都是等边三角形．
（1）求证：BE=DC；
（2）求∠DPB的度数；
（3）利用结论直接填空：
①若DC=6，点D，点C到直线BE的距离和为

3

3

；
②如图二，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=α，则∠BPD=

α

．

Answer 1

分析：（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．
（2））根据△DAC≌△BAE，得出∠ADC=∠ABE，再根据三角形的外角得出∠DPE=∠BDP+∠DBP=120°，最后根据平角的性质求出∠DPB的度数；
（3）①）根据sin∠DPM=

DM

PD

，DM=

3

2

×PD，CN=

3

2

•PC，再根据DM+CN=

3

2

PD+

3

2

PC，代入计算即可；
②根据SAS证出△ABD≌△AEC，得出∠ABF=∠PDF，再根据∠PFD=∠AFB，即可得出∠DPF=∠BAD=α．

解答：解：（1）过点D作DM⊥BE，CN⊥BE，
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．

（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠DPE=∠BDP+∠DBP
=∠BDP+∠DBA+∠ABE
=∠BDP+∠ADC+∠DBA
=60°+60°
=120°，
∴∠DPB=180°-120°=60°；

（3）①∵sin∠DPM=

DM

PD

，
∴DM=sin∠DPM•PD=

3

2

×PD，
同理可得：CN=

3

2

•PC，
∴DM+CN=

3

2

PD+

3

2

PC=

3

2

CD=

3

2

×6=3

3

；

②∵∠BAD=∠EAC=α，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABD和△AEC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴∠ABF=∠PDF，
∵∠PFD=∠AFB，
∴∠DPF=∠BAD=α；
故答案为：3

3

，α．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，用到的知识点是解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．