Question

如图：已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a-b|+（a-4）²=0．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S_阴=

1

2

S_{四边形OCAB}，求点P移动的时间？
（3）在（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

是否为定值，若是定值求其值；若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质易得a=2，b=4，则点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；
（2）设P点运动时间为ts，则t＞2，则P点坐标可表示为（2-t，0），Q点坐标表示为（0，4-2t），用待定系数法确定直线AQ的解析式为y=（t-1）x+4-2t，则可确定直线AQ与x轴交点坐标为（

2t-4

t-1

，0），根据题意得

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4）=

1

2

×2×4，然后解方程求出t的值；
（3）先根据角平分线定义得∠ACN=45°，∠1=∠2，再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1，然后根据三角形内角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，所以∠N=45°+∠1，再根据三角形外角性质得∠AMB=∠APB+∠PAQ，即∠APB+∠PAQ=2∠1，接着根据三角形内角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°，利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1，最后用∠1表示式子

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

中的角，约分即可得到

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

=

1

2

．

解答：解：（1）∵|2a-b|+（b-4）²=0．
∴2a-b=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；

（2）如图2，设P点运动时间为ts，则t＞2，所以P点坐标为（2-t，0），Q点坐标为（0，4-2t），
设直线AQ的解析式为y=kx+4-2t，
把A（2，4）代入得2k+4-2t=4，解得k=t-1，
∴直线AQ的解析式为y=（t-1）x+4-2t，
直线AQ与x轴交点坐标为（

2t-4

t-1

，0），
∴S_阴影=

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4），
而S_阴=

1

2

S_{四边形OCAB}，
∴

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4）=

1

2

×2×4，
整理得2t²-7t+4=0，
解得t₁=

7+ 17

4

，t₂=

7- 17

4

（舍去），
∴点P移动的时间为

7+ 17

4

s；

（3）

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

为定值．理由如下：
如图3，∵∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，
∴∠ACN=45°，∠1=∠2，
∵AC∥BP，
∴∠CAM=∠AMB=2∠1，
∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，
∴45°+2∠1=∠N+∠1，
∴∠N=45°+∠1，
∵∠AMB=∠APB+∠PAQ，
∴∠APB+∠PAQ=2∠1，
∵∠AQC+∠OMQ=90°，
而∠OMQ=2∠1，
∴∠AQC=90°-2∠1，
∴

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

=

45°+∠1-2∠1

90°-2∠1

=

1

2

．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．