Question

如图：⊙C经过原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，CE⊥OA垂足为点E，交⊙C于点F，∠OBA=30°，点A 的坐标是（2，0）
（1）求∠OCF的度数
（2）求点D和圆心C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理得出弧OF=弧AF，根据圆周角定理求出∠OCF=∠OBA即可；
（2）过C作CM⊥OD于M，根据垂径定理求出OE，根据含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出CE即可；得出矩形CMOE求出OM，根据垂径定理求出OD=2OM，代入求出即可．

解答：（1）解：∵CF⊥OA，CF过圆心C，
∴弧OF=弧AF，
∴弧OA=2弧OF，
∴∠OCF=∠OBA=30°．

（2）解：在Rt△OCE中，OE=

1

2

OA=1，
∵∠OCF=30°，
∴OC=2，
由勾股定理得：CF=

3

，
∴C（1，

3

）；
过C作CM⊥OD于M，
∵∠CMO=∠DOA=∠CEO=90°，
∴四边形MCEO是矩形，
∴MO=CE=

3

，
由垂径定理得：OD=2OM=2

3

，
∴D的坐标是（0，2

3

）．
答：点D和圆心C的坐标分别是（0，2

3

），（1，

3

）．

点评：本题综合考查了勾股定理，点的坐标，含30度角的直角三角形，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，熟练的运用垂径定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度也不大．