Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交斜边AB于点D，E为AC上一点，延长ED、CB交于F点，且∠A+∠F=∠ABC．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线；
（2）若tan∠A=，求tan∠F的值．

Answer 1

（1）证明：连OD、DC，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠ABC=∠F+∠BDF，
而∠A+∠F=∠ABC，
∴∠BDF=∠A，
又∵∠BDF=∠ADE，
∴∠A=∠ADE，
而∠ECD+∠A=∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠ECD=∠EDC，
而∠ACB=90°，OD=OC，
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，
∴直线EF为⊙O的切线；

（2）解：过D作DH⊥BC于H，如图，
∵∠ODH+∠DOB=90°，∠F+∠DOB=90°，
∴∠ODH=∠F，
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB，
在Rt△BCD中，tan∠DCB=，
而tan∠A=，
不妨设DB=3x，CD=4x，
BC==5x，
∴OC=x，
∵OH•BC=CD•BD，
∴OH=x，
在Rt△ODH中，OH===x，
∴tan∠ODH===，
∴tan∠F=．
分析：（1）连OD、DC，根据圆周角定理的推论由BC为直径得到∠BDC=90°，则∠ADC=90°，根据三角形外角∠ABC=∠F+∠BDF，而∠A+∠F=∠ABC，则∠BDF=∠A，根据等角的余角相等得到∠ECD=∠EDC，而∠ECD+∠OCD=90°，易得∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过D作DH⊥BC于H，根据等角的余角相等得到∠ODH=∠F，∠A=∠DCB，在Rt△BCD中，tan∠DCB=，不妨设DB=3x，CD=4x，利用勾股定理可计算出BC=5x，即半径为x，利用面积公式可计算出OH=x，在Rt△ODH中，利用勾股定理计算出OH=x，然后根据正切的定义得到tan∠ODH==，即可得到tan∠F的值．
点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理的推论以及解直角三角形．