Question

8．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，先求出∠AOD=60°，则利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=$\frac{1}{2}$OA=2，AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，从而得到A点坐标；再计算出∠COE=30°，
则在Rt△COE中可计算出CE=$\frac{1}{2}$OC=2，OE=$\sqrt{3}$CE=2$\sqrt{3}$，于是得到C（-2$\sqrt{3}$，2）；然后计算出∠BCF=30°，所以BF=$\frac{1}{2}$BC=2，CF=$\sqrt{3}$BF=2$\sqrt{3}$，于是得到B点坐标．

解答 解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，
∵OA与y轴的夹角为30°，
∴∠AOD=60°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=2，AD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$）；
∵∠AOC=90°，
∴∠COE=30°，
在Rt△COE中，CE=$\frac{1}{2}$OC=2，OE=$\sqrt{3}$CE=2$\sqrt{3}$，
∴C（-2$\sqrt{3}$，2）；
∵∠OCE=60°，∠BCO=90°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=2，CF=$\sqrt{3}$BF=2$\sqrt{3}$，
∴B（-2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$+2）．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了坐标与图形性质．记住含30度的直角三角形三边的关系．