Question

如图在直角坐标系中，二次函数y=x²-4x+k的顶点是C，与x轴相交于A，B两点（A在B的左边）．
（1）若点B的横坐标x_B满足5＜x_B＜6，求k的取值范围；
（2）若tan∠ACB=

4

3

，求k的值；
（3）当k=0时，点D，E同时从点B出发，分别向左、向右在抛物线上移动，点D，E在x轴上的正投影分别为M，N，设BM=m（m＜OB），BN=n，当m，n满足怎样的等量关系时，△ODE的内心在x轴上？

Answer 1

分析：（1）令y=0，把k看作常数，解关于x的一元二次方程，得到点B的横坐标，再列出不等式组，然后求解即可；
（2）过点A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，根据∠ACB的正切值设AG=4a，CG=3a，利用勾股定理列式求出AC=5a，根据二次函数的对称性可得BC=AC=5a，求出BG=2a，再利用勾股定理列式表示出AB=2

5

a，然后表示出BH=

5

a，再利用勾股定理列式表示出CH=2

5

a，然后根据二次函数的性质表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值；
（3）先求出点B的坐标，再表示出OM、ON，并根据二次函数解析式表示出DM、EN，根据△ODE的内心在x轴上可知∠DOM=∠EON，然后求出△DOM和△EON相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则x²-4x+k=0，
解得x=

4± 16-4k

2×1

=2±

4-k

，
∵A在B的左边，
∴点B的横坐标x_B为2+

4-k

，
∵5＜x_B＜6，
∴

2+ 4-k ＞5① 2+ 4-k ＜6②

，
解不等式①得，k＜-5，
解不等式②得，k＞-12，
所以，k的取值范围是-12＜k＜-5；

（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，作CH⊥AB于H，
∵tan∠ACB=

4

3

，
∴设AG=4a，CG=3a，
根据勾股定理，AC=

AG2+CG2

=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∵C为二次函数的顶点，
∴BC=AC=5a，
∴BG=BC-CG=5a-3a=2a，
在Rt△ABG中，AB=

AG2+BG2

=

(4a)2+(2a)2

=2

5

a，
∵C为二次函数的顶点，
∴BH=

1

2

AB=

1

2

×2

5

a=

5

a，
在Rt△BCH中，CH=

BC2-BH2

=

(5a)2-( 5 a)2

=2

5

a，
∴AB=CH，
∵AB=（2+

4-k

）-（2-

4-k

）=2

4-k

，
CH=

4×1×k-16

4×1

=k-4，
∴2

4-k

=k-4，
两边平方得，16-4k=k²-8k+16，
整理得，k²-4k=0，
解得k₁=0，k₂=4；

（3）k=0时，y=x²-4x，
令y=0，则x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∵A在B的左边，
∴点B的坐标为（4，0），
∴OM=4-m，ON=4+n，
∵点D、E都在二次函数y=x²-4x的图象上，
∴DM=-（4-m）²+4（4-m），
EN=（4+n）²-4（4+n），
∵△ODE的内心在x轴上，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠DMO=∠ENO=90°，
∴△DOM∽△EON，
∴

DM

EN

=

OM

ON

，
即

-(4-m)2+4(4-m)

(4+n)2-4(4+n)

=

4-m

4+n

，
整理得：m=n．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，解一元一次不等式组，二次函数的对称性，锐角三角函数的正切值，勾股定理的应用，三角形的内心是角平分线的交点，相似三角形的判定与性质，综合性较强，（2）列出根据顶点C的纵坐标和AB的长度列出方程是解题的关键，（3）根据△ODE的内心在x轴上得到∠DOM=∠EON是解题的关键．