Question

如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E，且BE=CE．
（1）求证：直线BE是⊙O的切线；
（2）若tanE=，0E=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB；
∵CE=BE，
∴∠2=∠1=∠3，
∵OC⊥OA，
∴∠3+∠A=90°，
∴∠2+∠A=90°；
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠2+∠OBA=90°，
即∠OBE=90°；
∴BE与⊙O相切；
（2）解：∵BE是圆的切线，
∴OB⊥BE，
∴△OBE是直角三角形，
∵tanE=，
∴sinE=，
∴，
∵0E=，
∴OB=4，
∴⊙O的半径是4．
分析：（1）连接OB，根据角与角之间的相互关系可得∠OBE=90°，则OB⊥BE，故BE与⊙O相切；
（2）由（1）可知BE是圆的切线，所以OB⊥BE，即三角形OBE是直角三角形，由已知数据解直角三角形即可求出OB的长即圆的半径．
点评：本题考查的是切线的判定和性质以及解直角三角形的运用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．