Question

9．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接AF交对角线于点E，连接EC
（1）求证：AE=EC；
（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC的什么位置？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的对角线互相垂直平分即可证明；
（2）首先证明△ABC是等边三角形，再证明AF是等边△ABC的角平分线即可；

解答 （1）证明：连接AC．

∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，
∴AE=EC．

（2）解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB．
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AE=EC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CEF=30°．
又∵∠BAF=∠BAC-∠EAC=30°=∠EAC，
∴AF是等边△ABC的角平分线，
∴BF=CF，
∴点F是线段BC的中点．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．