Question

如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC=2PQ，则tan∠B的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=R，根据锐角三角函数值求出即可．
解答：
设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，
连接OD，OG，OF，OE，
∵⊙O内切于Rt△ABC，
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴OD=CD=CE=OE=R，
同理OG=GQ=FQ=OF=R，
则PQ=CP，AC=AQ，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴==，
∴BC=2BQ=2y，
根据BG=BE得：y+R=2y-R，
解得：y=2R，
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ²+BQ²=BP²，
即（2R）²+（R+x）²=（4R-R-x）²，
解得：x=R，
即PQ=R+R=R，BQ=2R，
tanB===．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线长定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，难度偏大．