Question

如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点P是AC上的一个动点（P不与点A、点C重合），PQ⊥AB，垂足为Q，当PQ与△ABC的内切圆⊙O相切时，PC的值为

1. A.
   
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：画出图形，证出△BCP′≌△BQ′P′，推出P′C=P′Q′，设P′C=P′Q′=a，证△AQ′P′∽△ACB，推出=，代入求出=，求出a即可．
解答：
当PQ到P′Q′时，与⊙O相切，
此时OB平分∠CBA，OP′平分∠CP′Q′，且B、O、P′共线，
在△BCP′和△BQ′P′中
∵，
∴△BCP′≌△BQ′P′，
∴P′C=P′Q′，
设P′C=P′Q′=a，
∵∠A=∠A，∠C=∠P′Q′A=90°，
∴△AQ′P′∽△ACB，
∴=，
即=，
解得：a=，
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆等知识点，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．