Question

以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG．
（1）如图1，当AC，AE在同一条直线上时，试判断△ABC、△AEG面积之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，当AC，AE不在同一条直线上时，图1中的结论是否成立，并说明理由，

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可以得出△ABC≌△AEG，就可以得出S_△ABC=S_△AEG；
（2）作AH⊥GA交GA的延长线于点H，作BP⊥AC于点P，证明△AHE≌△APB就可以得出EH=BP，就可以得出结论．

解答：解：（1）S_△ABC=S_△AEG；
理由：∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∵AC，AE在同一条直线上，
∴∠EAB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°．
∵∠EAB+∠GAC+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠EAG=90°，
∴∠BAC=∠EAG．
在△ABC和△AEG中

AB=AE ∠BAC=∠EAG AC=AG

∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴S_△ABC=S_△AEG；
（2）S_△ABC=S_△AEG成立．
理由：作AH⊥GA交GA的延长线于点H，作BP⊥AC于点P，
∴∠AHE=∠APB=90°．
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∵∠EAB+∠GAC+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠EAG+∠BAC=180°．
∵∠EAG+∠EAH=180°，
∴∠EAH=∠BAP．
在△AHE和△APB中

∠AHE=∠APB ∠EAH=∠BAP AE=AB

，
∴△AHE≌△APB（AAS），
∴EH=BP．
∵AG=AC，
∴

1

2

AG．EH=

1

2

AC．BP，
∴S_△ABC=S_△AEG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．