Question

已知抛物线y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是P点，与x轴交于A（2，0）、B两点．
（1）①求a的值；
②△PAB能否构成直角三角形？若能，求出t的值：若不能，说明理由．
（2）若t＞0，点F（0，-1），把抛物线y=a（x-t-2）²+t²向左平移t个单位后与x轴的正半轴交于M、N两点，当t为何值时，过F、M、N三点的圆的面积最小？并求这个圆面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由抛物线与x轴交于A点，将A点的坐标代入抛物线解析式中，根据t不为0求出a的值即可；
②将求出的a的值代入抛物线解析式中，令解析式中y=0，求出对应的x的值，确定出点B的坐标，然后分两种情况考虑：（i）当t＞0时，点B在点A的右侧，由A和B的坐标求出OA与OB的长，假设此时三角形PAB为直角三角形，如图1所示，过P作PQ垂直于AB，由对称性及等腰三角形的性质得到PA等于AB的一半，再由抛物线的顶点坐标公式求出顶点P的坐标，确定出PQ的长，由OB-OA求出AB的长，列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；（ii）当t＜0时，点B在点A的左侧，假设△PAB是直角三角形，如图2所示：过P作PQ⊥AB于Q，同理得到PQ等于AB的一半，由P的纵坐标得出PQ的长，由OA-OB求出AB的长，列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值，综上，得到△PAB能否构成直角三角形时所有t的值；
（2）不妨设点M在点N的左侧，根据平移规律表示出原抛物线向左平移t个单位后与x轴的交点M和N的坐标，以及MN垂直平分线的方程，当CF垂直于y轴时，根据垂线段最短得到CF的长度最小，可得出此时圆C的半径为2，确定出圆C的最小面积，再由F的坐标求出OF与CH的长，由OH-OM求出HM的长，在直角三角形CHM中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到圆C面积最小时t的值．
解答：
解：（1）①把A（2，0）代入y=a（x-t-2）²+t²得：at²+t²=0，┅（2分）
∵t≠0，∴a=-1；┅（3分）
②△PAB能构成直角三角形，理由为：
将a=-1代入抛物线解析式得：y=-（x-t-2）²+t²，
当y=0时，-（x-t-2）²+t²=0，即（x-t-2）²=t²，
开方得：x-t-2=t或x-t-2=-t，
解得：x₁=2，x₂=2t+2，
∴B（2t+2，0），┅（4分）
分两种情况：
（i）当t＞0时，点B在点A的右侧，OA=2，OB=2t+2，
假设△PAB是直角三角形，如图1所示：过P作PQ⊥AB于Q，
则PQ=AB，┅（5分）
∵抛物线的顶点坐标为（t+2，t²），
∴PQ=t²，
∵AB=OB-OA=（2t+2）-2=2t，
∴t²=t，即t（t-1）=0，
解得：t₁=1，t₂=0（不合题意舍去）；┅（6分）
（ii）当t＜0时，点B在点A的左侧，
假设△PAB是直角三角形，如图2所示：过P作PQ⊥AB于Q，
同理：PQ=AB，
∵AB=OA-OB=2-（2t+2）=-2t，PQ=t²，
∴t²=-t，┅（7分）
即t（t+1）=0，
解得：t₁=-1，t₂=0（不合题意舍去），┅（8分）
则当t=±1时，△PAB是直角三角形；

（2）不妨设点M在点N的左侧，
原抛物线向左平移t个单位后与x轴的交点M（2-t，0）、N（t+2，0），
MN的垂直平分线为直线x=2，垂足为H，┅（9分）
如图3所示，∵CF垂直于y轴时，CF的长度最小，
∴⊙C半径的最小值为2，┅（10分）
此时CM=CF=2，⊙C的最小面积为4π，┅（11分）
∵F（0，-1），∴CH=OF=1，
在Rt△CMH中，MH=OH-OM=2-（2-t）=t，
根据勾股定理得：CH²+MH²=CM²，┅（12分）
∴1²+t²=2²，解得：t₁=，t₂=-（不合题意舍去），┅（13分）
则当t=时，过F、M、N三点圆的面积最小，最小面积为4π．┅（14分）
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：直角三角形斜边上的中线性质，抛物线顶点坐标公式，二次函数与x轴的交点，勾股定理，垂线段最短，以及平移的性质，利用了分类讨论的数学思想，是一道中考中的压轴题，要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．