Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O．
（1）试说明：△AOD≌△COE；
（2）若∠B=

1

2

∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明EC=AD，再根据平行线的性质可得∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．即可利用ASA定理证明△AOD≌△COE；
（2）首先证明四边形ABED是平行四边形，四边形AECD是平行四边形．可得∠ADO=∠B，进而得到∠AOE=2∠ADO，再根据三角形内角与外角的性质证明∠OAD=∠ODA．利用等角对等边可得AO=DO，进而得到AC=DB，根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论．

解答：证明：（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴EC=AD．
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．
在△AOD和△COE中

∠ADO=∠CEO AD=CE ∠DAO=∠ECO

，
∴△AOD≌△COE（ASA）；

（2）∵AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形；
同理可得：四边形AECD是平行四边形．
∴∠ADO=∠B．
∵∠B=

1

2

∠AOE，
∴∠AOE=2∠B．
∴∠AOE=2∠ADO．
∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD．
∴AC=DE．
∴四边形AECD是矩形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形