Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=4

2

，则BC边的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，利用AAS得到三角形ABC与三角形BEQ全等，利用全等三角形的对应边相等得到AC=BQ=3，BC=EQ，设BC=EQ=x，由OM为梯形ACQE的中位线，利用梯形中位线定理表示出OM，再由CM，表示出O坐标，进而表示出OC的长，根据已知OC的长列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BC的长．

解答：解：作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBQ=90°，
∴∠BAC=∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，

∠ACB=∠BQE=90° ∠BAC=∠EBQ AB=EB

，
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC=BQ=3，BC=EQ，
设BC=EQ=x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM=

3+x

2

，
又∵CM=

1

2

CQ=

3+x

2

，
∴O点坐标为（

3+x

2

，

3+x

2

），
根据题意得：OC=4

2

=

( 3+x 2 )2+( 3+x 2 )2

，
解得：x=5，
则BC=5．
故答案为：5．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，梯形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．