Question

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，
（1）求证：AB=AC+CD．
（2）如果BD=4，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：过点D作DP⊥AB于点P，
∵在△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥AC，
∵AD是角平分线，
∴CD=PD，∠ADP=∠ADC，
∴AP=AC，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴DP=PB，
∴AC+CD=AB；

（2）解：∵BD=4，∠BPD=90°，∠B=45°，
∴DP=BP=BD•cos45°=2，
∴AC=BC=BD+CD=BD+PD=4+2．
分析：（1）首先过点D作DP⊥AB于点P，由角平分线的性质，可得PD=CD，又由等腰直角三角形的性质，可得△BDP是等腰直角三角形，继而求得答案；
（2）首先在等腰直角三角形BDP中，求得PD的长，继而可求得AC=BC=BD+CD的长．
点评：此题考查了角平分线的性质与等腰直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．