Question

（1）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．求证：AE=BE；

（2）已知：如图，⊙O₁与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O₁的纵坐标为

5

．求⊙O₁的半径．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，可以判定Rt△ACE≌Rt△BDE，根据全等三角形的性质，AE=BE．
（2）已知A、B两点的坐标，可知弦AB的长等于4，点O₁的纵坐标为弦的弦心距的长，根据勾股定理和垂径定理可以求出⊙O₁的半径．

解答：（1）证明：在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED，
在△RTACE≌Rt△BDE中，

∠C=∠D ∠AEC=∠BED AC=BD

∴Rt△ACE≌Rt△BDE，
∴AE=BE．

（2）解：过点O₁作O₁C⊥AB，垂足为C，
则有AC=BC，
由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AO₁C中，
∵O₁的纵坐标为

5

，
∴O₁C=

5

．
∴⊙O₁的半径O₁A=

O1C2+AC2

=

( 5 )2+22

=3．

点评：（1）一般情况下，证明线段相等时，可以通过证全等三角形证得．
（2）解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．