Question

如图：平面直角坐标系中，已知A（-，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负半轴于D．
①判断△ABC的形状，并说明理由．
②点A是弧CD的中点吗？说明理由．
③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直线l与⊙M有公共点时，求m的取值范围．
④在y轴上是否存在点P，使得四边形APBC是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：①△ABC为直角三角形，理由如下：
连接AC，BC，

∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA=，OB=2，OC=1，
∴AB=OA+OB=，即AB²=，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC²=AO²+OC²=+1=，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC²=BO²+OC²=4+1=5，
∴AC²+BC²=+5==AB²，
∴△ABC为直角三角形；

②A是弧CD的中点，理由为：
∵直径BA⊥弦CD，
∴A为的中点；

③如上图所示：
当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=；
当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r，
∵AB=，
∴AM=r=，
∴d=，即m=-，
则当直线l与⊙M有公共点时，m的取值范围为-≤m≤；

④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形，
过点B作BP₁∥AC，交y轴于点P₁，
∴∠ACP₁=∠BP₁C，∠CAO=∠OBP₁，
∴△AOC∽△BOP₁，
∴=，即OP₁==4，
∴P₁坐标为（0，-4）；
过点A作AP₂∥BC，交y轴于点P₂，
∴∠AP₂O=∠BCO，∠OAP₂=∠OBC，
∴△BOC∽△AOP₂，
∴=，即OP₂==，
∴P₂坐标为（0，-）．
则在y轴上存在点P（0，-4）或（0，-），使得四边形APBC是梯形．
分析：①三角形ABC为直角三角形，理由为：连接AC，BC，由A，B及C的坐标，得出OA，OB，及OC的值，在直角三角形AOC中，由OA及OC的长，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形BOC中，由OC及OB的长，利用勾股定理求出BC的长，同时由OA+OB求出AB的长，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形ABC为直角三角形；
②点A为弧CD的中点，理由为：由x轴与y轴垂直，得到直径BA与弦CD垂直，利用垂径定理可得出A为弧CD的中点；
③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直线l在x轴上方与圆M相切时，根据圆心到切线的距离d=r，由直径AB的长求出半径r的长，可得出d的值，即为相切时N的纵坐标m的值；当直线l在x轴下方与圆M相切时，同理可得出相切时N的纵坐标m的值，当直线l在两切线之间时，直线与圆相交，符合题意，故得出直线l与圆M有公共点时m的范围；
④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形，此时满足题意的P有两个，一个是过B作BP₁与AC平行，与y轴交于P₁，根据两直线平行，得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形AOC与三角形BOP₁相似，由相似得比例，将OA，OB及OC的长代入求出OP₁的长，确定出P₁的坐标；另一个为过A作AP₂平行于BC，与y轴交于P₂，同理得出P₂的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：勾股定理及逆定理，垂径定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，是一道综合性较强的题，第三小问抓住直线l与圆M相切时的特殊情况是求出m范围的关键．第四小问运用了分类讨论的思想，求出的P有两解，注意不要漏解．