Question

如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．
①求∠DBC的度数．
②猜想△BDC的形状并证明．

Answer 1

解：①∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
答：∠DBC的度数是36°．

②△BDC的形状是等腰三角形，
证明：∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=CB，
即△BDC是等腰三角形．
分析：①根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，根据AC=AB，推出∠C=∠ABC，根据三角形的内角和定理求出∠C=∠ABC，根据∠DBC=∠ABC-∠ABD，代入求出即可；
②根据三角形的内角和定理求出∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定定理推出即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的应用，解①小题的关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，解②小题的关键是求出∠BDC的度数，题目综合性比较强，难度适中．