Question

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=AD．
（1）求证：BD=DE；
（2）若点D是AC边上任意一点，且CE=AD，（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）；

（2）解：BD=DE仍然成立．
证明：作DF∥AB交BC于点F，
∴∠DFC=∠DCF=∠ABC=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC，
∵AD=CE，
∴AD+DC=CE+CF=BC，
即：BC=EF，
∴△BDC≌△EDF，
∴BD=ED．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
（2）结论仍然成立，作DF∥AB交BC于点F，证得△BDC≌△EDF后即可证得结论．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．