Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．

Answer 1

解：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
又BD⊥DC，∠A=90°
∴∠A=∠BDC=90°
∴△ABD∽△DCB（2分）
在直角三角形BDC中，BD==8，
∴，即，
解得：AD=6.4cm（1分）

（2）过点E作BC的垂线，垂足为G，
在Rt△DBC中，，
在Rt△EGC中，∴EG=t，
∴（0＜t＜5）（3分）

（3）当∠BDC=∠FEC=90°，=，即=，求出t=cm，则BF=2t=cm；
当∠BDC=∠EFC=90°，=，代入求出CF=cm，则BF=BC-CF=cm；
综上所述：BF=cm或者BF=cm．（2分）
分析：（1）首先根据已知条件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行线的性质（两直线AD∥CB，内错角∠ADB=∠DBC）证明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的对应边成比例求得AD的长度；
（2）过点E作BC的垂线，垂足为G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函数求得EG=t，然后利用割补法求得四边形EFDB的面积；
（3）分两种情况：①当∠BDC=∠FEC=90°时，求BF的长；②当∠BDC=∠EFC=90°时，求BF的长．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、直角梯形．解（3）题时，原题中没有提出△CEF与△BDC相似的对应角与对应边，所以应分类讨论：①△BDC∽△FEC；②△BDC∽△EFC，防止漏解．