Question

如图，O是坐标原点，直线OA与双曲线y=

k

x

(k≠0)在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若OB=4，tan∠AOB=

1

2

．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线AC与y轴交于点C（0，1），与x轴交于点D，求△AOD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正切函数的定义，即可求得AB的长，即求得A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）利用待定系数法求得AC的解析式，然后 求得D的横坐标，即求得OD的长，利用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）∵tan∠AOB=

1

2

．
∴

AB

OB

=

1

2

∴AB=2
则A的坐标是（4，2）．
把A的坐标代入函数解析式得：2=

k

4

∴k=8
则反比例函数的解析式是：y=

8

x

；

（2）设直线AC的解析式是y=kx+b
根据题意得：

b=1 4k+b=2

解得：

b=1 k=  1 4

则AC的解析式是：y=

1

4

x+1．
在解析式中令y=0，解得：x=-4．
则OD=4
△AOD的面积等于：

1

2

×4×2=4．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，是一次函数，反比例函数以及三角函数的综合应用．