Question

使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是______．

Answer 1

设m²+m+7=k²，
所以m²+m+

1

4

+

27

4

=k²，
所以（m+

1

2

^_）2+

27

4

=k²，
所以 （m+

1

2

^_）2-k²=-

27

4

，
所以（m+

1

2

+k）（m+

1

2

-k）=-

27

4

，
所以（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27
因为k≥0（因为k²为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①2m+2k+1=27，2m-2k+1=-1，解得：m=6，k=7；
②2m+2k+1=9，2m-2k+1=-3，解得：m=1，k=3；
③2m+2k+1=3，2m-2k+1=-9，解得：m=-2，k=3；
④2m+2k+1=1，2m-2k+1=-27，解得：m=-7，k=7．
所以所有m的积为6×1×（-2）×（-7）=84．
故答案为：84．