Question

如图，已知梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，∠B=60°，AD=3，AB=5

3

，DC=4

3

，P是BC边上一点（P与B不重合），过点P作PQ⊥BC交AB于Q，设PB=x，四边形AQPD的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值或最小值？其值等于多少？

Answer 1

分析：（1）过点P作EF⊥AB交AB于E，交DC的延长线于F，利用含30°的直角三角形三边的关系在RtPBQ中得到QB=2PB=2x，在Rt△PBE中得到BE=

1

2

PB=

1

2

x，PE=

3

BE=

3

2

x，易得PF=EF-PE=3-

3

2

x，然后利用y=S_梯形ABCD-S_△PBQ-S_△PCD得到y=

1

2

（4

3

+5

3

）×3-

1

2

×

3

2

x•2x-

1

2

×4

3

×（3-

3

2

x），再整理即可；
（2）由（1）得到y=-

3

2

x²+3x+

15 3

2

，根据二次函数的最值问题的公式进行计算即可．

解答：解：（1）过点P作EF⊥AB交AB于E，交DC的延长线于F，如图，
∵PQ⊥BC，
∴∠QPB=90°，
而∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴QB=2PB=2x，
在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴BE=

1

2

PB=

1

2

x，
∴PE=

3

BE=

3

2

x，
∵DC∥AB，∠A=90°，AD=3，
∴EF=3，
∴PF=EF-PE=3-

3

2

x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△PBQ-S_△PCD
=

1

2

（4

3

+5

3

）×3-

1

2

×

3

2

x•2x-

1

2

×4

3

×（3-

3

2

x）
=-

3

2

x²+3x+

15 3

2

；
（2）∵a=-

3

2

＜0，
∴y有最大值，
当x=-

3

2×(- 3 2 )

=

3

时，y_最大值=

4×(- 3 2 )× 15 3 2 -32

4×(- 3 2 )

=9

3

．

点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的几何关系得到二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解决最大（或最小值）问题．