Question

已知二次函数y=ax²-ax+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₁＜x₂，交y轴的负半轴于C点，且AB=3，tan∠BAC-tan∠ABC=1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S_△PAC=6？若存在，请你求出点P的坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，有
解得x₁=-1，x₂=2．
x₁x₂=-2=，
由已知三角函数关系知-=1，
即-=1，得OC=2，
∴截距m=-2，
则a=1
∴y=x²-x-2．

（2）存在．
过点P作AC的平行线，与y轴交于E，与x轴交于F．
由S_△PAC=S_△EAC=S_△FAC=6，
求得E（0，10），F（5，0），
得到直线EF的解析式为y=-2x+10，
解-2x+10=x²-x-2，
可得x₁=-4，x₂=3，
于是P点的坐标为P₁（3，4），P₂（-4，18），
因为P点的坐标在第一象限，
所以P点的坐标为P（3，4）．
分析：（1）由二次函数y=ax²-ax+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，可知是ax²-ax+m=0的两个根，得出两根之和；由AB=3，得出两根之差，求得x₁、x₂，根据tan∠BAC-tan∠ABC=1求得点C，解决问题；
（2）由P作AC的平行线EF，与y轴交于E，与x轴交于F，利用三角形的面积求得两点坐标，进一步求出直线EF，直线EF与抛物线在第一象限的交点就是P的坐标．
点评：此题是一个综合性很强的题目，考查了一元二次方程根与系数的关系、三角函数、待定系数法求二次函数、及方程与函数之间的关系等，渗透数形结合的思想．