Question

2．如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE=30°，∠BEF=90°，BE=BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，
（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM=3时，求EG的长；
（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD=$\frac{1}{2}$时，求S_△NED

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．想办法证明EM垂直平分CD即可解决问题；
（2）如图2中，连接BM、BG．由△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，推出AM=EM═DM=3，EG=CG，设EG=CG=x，则DG=6-x．在Rt△DMG中，根据MG²=DG²+DM²，列出方程即可解决问题；
（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．只要证明∠ECD=∠GCB，推出tan∠GBC=tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，推出$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{2}$，推出CG=3，由CD=6，可得CG=DG=3，设AN=EN=y，则DN=6-y，在Rt△DNG中，利用勾股定理求出y即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BC=BE，
∴AB=BE，
在Rt△BFA和Rt△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{BA=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFA≌△Rt△BFE，
∴∠ABF=∠EBF=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC=30°，
∴EH=MC=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴DM=CM，∵EM⊥CD，
∴ED=EC，
∵∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠EDC=∠ECD=15°．

（2）如图2中，连接BM、BG．

由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，
∴AM=EM═DM=3，EG=CG，设EG=CG=x，则DG=6-x．
在Rt△DMG中，∵MG²=DG²+DM²，
∴（3+x）²=（6-x）²+3²，
∴x=2，
∴EG=2．

（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．

易知AN=NE，EG=CG，
∵BE=BC，
∴BG垂直平分CE，
∴∠ECG+∠BCG=90°，∵∠GBC+∠ECB=90°，
∴∠ECD=∠GCB，
∴tan∠GBC=tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CG=3，
∵CD=6，
∴CG=DG=3，设AN=EN=y，则DN=6-y，
在Rt△DNG中，（6-y）²+3²=（3+y）²，
解得y=2，
∴AN=NE=2，DN=4，NG=5，
∴S_△DNE=$\frac{2}{5}$•S_△DNG=$\frac{2}{5}$×3×4=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．