Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=3.5，sinB=

4

5

，点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，连接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y．
（1）求BC的长；
（2）试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接EF，如果△PEF是等腰三角形，试求BP的长．

Answer 1

分析：（1）作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，△ABM≌△DCN，则BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=9.5；
（2）先由三角形内角和定理得出∠BEP=∠GPC，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出∠B=∠C，则△BEP∽△CPG，根据相似三角形对应边成比例得出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）分三种情况：①PE=PF；②PE=EF；③PF=EF．

解答：解：（1）如图，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMND，△ABM≌△DCN，
所以BC=BM+MN+NC=AD+2AB•cosB=3.5+2×5×

3

5

=9.5；

（2）如图．∵∠EPB+∠EPF+∠GPC=∠EPB+∠B+∠BEP=180°，∠EPF=∠B，
∴∠BEP=∠GPC，
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△BEP∽△CPG，
∴BE：CP=BP：CG，
∴3：（9.5-x）=x：CG ①；
又∵FD∥PC，
∴△GFD∽△GPC，
∴FD：PC=GD：GC，
∴y：（9.5-x）=（CG-5）：CG ②，
①②联立，消去CG，解得y=9.5-x-

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x

，
∵射线PF与AD边交于点F，即y＞0，
∴9.5-x-

15

x

＞0，
又x＞0，
∴9.5x-x²-15＞0，
∴x²-9.5x+15＞0，
解得2＜x＜7.5；

（3）分三种情况：
①如果PE=PF，如图，过F作DC平行线交底边于H，则∠FHP=∠C=∠B．
∵在△PEB与△FPH中，

∠B=∠FHP ∠BEP=∠HPF PE=FP

，
∴△PEB≌△FPH（AAS），
∴EB=PH=3，BP=FH=DC=5；
②如果PE=EF，如图，过F作DC平行线交底边于H，则∠FHP=∠C=∠B．
∵在△PEB与△FPH中，

∠B=∠FHP ∠BEP=∠HPF

，
∴△PEB∽△FPH，
∴PE：PF=PB：FH，
又∵PE=EF，
过E点做△EFP的高ET，则FP：PE=2PT：PE=2cos∠EPF=2cos∠B=

6

5

，
∵FH=DC=5，
∴

5

6

=

x

5

，
解得x=

25

6

；
③如果PF=EF，同理可得△PEB∽△FPH，
∴PE：PF=PB：FH，
∵PE=EF，
过F点做△EFP的高FT，则PE：PF=2PT：PF=2cos∠EPF=2cosB=

6

5

，
∵FH=DC=5，
∴

5

6

=

5

x

，
解得x=6．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第（3）问进行分类讨论是解题的关键．