Question

学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若满足，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？
（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直径BE交AC于点D．
①求证：△ABC是勾股三角形；
②求DE的长．

Answer 1

(1) 假命题；(2)102; (3) ①证明见解析；.

试题分析：(1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；
（2）利用已知：（得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；
（3）①过B作BH⊥AC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出答案；
②过D作DK⊥AB于K，设KD=h，首先得出h+h=，进而得出h的值，求出BD，进而得出DE的长．
试题解析：（1）假命题；
（2）由题意可得：，
解得：x+y=102；
（3）①证明：过B作BH⊥AC于H，设AH=x，
Rt△ABH中，BH=，
Rt△CBH中，（）²+（1+﹣x）²=4，
解得：x=，
所以，AH=BH=，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形；
②连接CE，
∵∠A=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，
过D作DK⊥AB于K，设KD=h，
∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，
∴∠ABE=30°，
∴，AK=h，
∴h+h=，
解得：h=，
∴BD=2KD=2h=，
∴DE=BE﹣BD=

考点:1.圆的综合题；2.勾股定理．