Question

如图，已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把C（m，m-1）代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据

AH

CH

=

CH

BH

=2，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得□DECF是矩形；
（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；

解答：（1）∵抛物线y=-

1

2

x2+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴根据题意，得

0=- 1 2 -b+c 0=-8+4b+c

，
解得  

b= 3 2 c=2

，
所以抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2+

3

2

x+2；

（2）①证明：∵把C（m，m-1）代入y=-

1

2

x2+

3

2

x+2得
∴m-1=-

1

2

m2+

3

2

m+2，
解得：m=3或m=-2，
∵C（m，m-1）位于第一象限，
∴

m＞0 m-1＞0

，
∴m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴点C坐标为（3，2），
过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（3，2）得  AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
∵

AH

CH

=

CH

BH

=2，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴?DECF是矩形；

②存在；
连接CD
∵四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；

点评：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上点的坐标的求法，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质等，本题是二次函数的综合性题，其难点是三角形相似的判定：两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；