Question

如图1，在平面直角坐标系中，⊙O交y轴正半轴于A，弦交x轴于C，⊙O的切线BP交x轴于P，已知：C（1，0），BP=4．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，直线EF的解析式为：y=

3

4

x-6，交x轴于E，交y轴于F，把⊙O沿x轴正方向平移至⊙O₁与线段EF相切，求点O₁的坐标；
（3）在（2）的基础上，直线EF上存在点D，将直线EF绕点D顺时针旋转60°后对应的直线恰好与⊙O₁相切，求点D的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结OB，根据切线的性质得OB⊥PB，则∠3+∠4=90°，而∠3=∠5，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，所以∠1=∠4，则PC=PB=4，可得到OP=5，根据勾股定理可计算出OB=3；
（2）作O₁M⊥EF于M，先确定F点坐标为（0，-6），E点坐标为（8，0），则EF=10，由EF为⊙O₁的切线得到O₁M=3，再证明△O₁EM∽△FEO，利用相似比可得到O₁E=5，则OO₁=3，所以点O₁的坐标为（3，0）；
（3）DG为⊙O₁的切线，G为切点，连结O₁G，O₁D，作DH⊥x轴于H，则∠FDG=60°，先根据勾股定理得EM=4，由DG和DM为⊙O₁的切线，根据切线长定理得∠O₁DG=∠O₁DM=60°，则∠DO₁M=30°，所以DM=

3

3

O₁M=

3

，则DB=EM+DM=4+

3

，由△EDH∽△EFO得到

DH

6

=

EH

8

=

4+ 3

10

，可计算出DH=

12+3 3

5

，EH=

16+4 3

5

，所以OH=OE-EH=

24-4 3

5

，于是得到D点坐标为（

24-4 3

5

，-

12+3 3

5

），同理将直线OD沿FE方向平移使得与圆O另外一边相切．

解答：解：（1）连结OB，如图，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠3+∠4=90°，
∵OA=OB，
∴∠3=∠5，
∴∠5+∠4=90°，
∵∠2+∠5=90°，
而∠1=∠2，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠1=∠4，
∴PC=PB=4，
∵C点坐标为（1，0），
∴OP=5，
∴OB=

OP2-PB2

=3，
即⊙O的半径为3；
（2）作O₁M⊥EF于M，如图，
把x=0代入y=

3

4

x-6得y=-6；把y=0代入y=

3

4

x-6得

3

4

x-6=0，解得x=8，
∴F点坐标为（0，-6），E点坐标为（8，0），
∴OF=6，OE=8，
∴EF=

OE2+OF2

=10，
∵EF为⊙O₁的切线，
∴O₁M=3，
∵∠O₁EM=∠FEO，
∴△O₁EM∽△FEO，
∴

O1E

EF

=

O1M

OF

，即

O1E

10

=

3

6

，解得O₁E=5，
∴OO₁=8-5=3，
∴点O₁的坐标为（3，0）；
（3）如图，DG为⊙O₁的切线，G为切点，连结O₁G，O₁D，作DH⊥x轴于H，则∠FDG=60°，
在Rt△O₁EM中，O₁M=3，O₁E=5，
∴EM=

52-32

=4，
∵DG和DM为⊙O₁的切线，
∴∠O₁DG=∠O₁DM=60°，
∴∠DO₁M=30°，
∴DM=

3

3

O₁M=

3

，
∴DB=EM+DM=4+

3

，
∵DH∥OF，
∴△EDH∽△EFO，
∴

DH

OF

=

EH

EO

=

ED

EF

，即

DH

6

=

EH

8

=

4+ 3

10

，
∴DH=

12+3 3

5

，EH=

16+4 3

5

，
∴OH=OE-EH=

24-4 3

5

，
∴D点坐标为（

24-4 3

5

，-

12+3 3

5

），
同理将直线OD沿FE方向平移使得与圆O另外一边相切，D点坐标为（

24+11 3

5

，

3-3 3

5

）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和旋转的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．