Question

已知，，是的平分线，点在上，．将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线、直线分别交于点、点．

（1）如图，当点在射线上时，
①求证： ；
②设，，求与的函数解析式并写出函数的定义域；
（2）连结，当△与△似时，求的长．

Answer 1

（1）①证明见解析②（2）

（1）
证明：①过点作，，垂足分别为、．
∵是的平分线，
∴．
由，得．
∴．
∵，
∴．
∴△≌△．                       （3分）
∴．
解：②∵，
∴．
∵△≌△，
∴．
∴．                                                          （2分）
∵∥，
∴．
∴．                                                         （2分）
∴                                             （2分）
解：（2）当△与△相似时，点的位置有两种情况：
①当点在射线上时，
∵，，
∴．
∴．
∴．
在Rt△中，．                               （2分）
②当点在延长线上时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
易证，可得．
∴．
∴．
易证△≌△，
可得．
∵∥，
∴．
∴．
∴．                                                    （2分）
（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，有已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可；
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可．